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圏論で考えよう、というスクリーンキャストを作りました
karino2
作成中のアプリ、WhiteBoard Castのドッグフードとして、「圏論で考えよう」というのを作ってみました。
単射と全射を中心に圏論と集合論の違いを説明する、という話をします。可換を使って射を中心に考える、という事を説明する事が目標です。
序盤はアプリのバグにより音が飛んだりずれたり、後半は音飛びが酷かったりしますね(^^;
扇風機がこっち向くと音が小さくなる…

再生リスト:
https://www.youtube.com/playlist?list=PL3J_mLcl4YCc-CsND9NwaHpKu3Ir-hsni

第一回: はじめに
このシリーズの目的と前提です。
練習問題を中心にやっていくので、ちゃんと練習問題やって欲しいなぁ、という話。
https://www.youtube.com/watch?v=YzSAo-EvhfA&list=PL3J_mLcl4YCc-CsND9NwaHpKu3Ir-hsni&index=1

第二回: 射と可換と図式
可換図式の話です。第三回以降に使う道具立てと、それを踏まえてこのシリーズの目的にも触れます。

2-1. 可換図式
可換図式の定義と、このコースで使っていくノーテーションの説明です。
ちょっと音飛びが酷いですね。
https://www.youtube.com/watch?v=hcIvYnO0pEo&list=PL3J_mLcl4YCc-CsND9NwaHpKu3Ir-hsni&index=2

2-2. 問: 可換図式の練習問題
可換図式に慣れてもらう為の練習問題です。この練習問題で 数式<ー>図式 を行ったり来たりするのが出来るようになる事を期待しています。
https://www.youtube.com/watch?v=A7cJkdlGTXg&list=PL3J_mLcl4YCc-CsND9NwaHpKu3Ir-hsni&index=3

2-3. 解答: 可換図式の練習問題
2-2の解答になります。
https://www.youtube.com/watch?v=ophwIseO_FA&list=PL3J_mLcl4YCc-CsND9NwaHpKu3Ir-hsni&index=4

2-4. 射と関数の違い
2-2の練習問題の意義として、数式と図式の関係。
そして射と関数の関係。そこからこのシリーズ全体のテーマの説明。一回目は飛ばしても構いません。
この動画もちょっと音飛び酷いです(^^;
https://www.youtube.com/watch?v=8gecErICom8&list=PL3J_mLcl4YCc-CsND9NwaHpKu3Ir-hsni&index=5

第三回: 単射
今回は本題の一つ、単射です。
前半が集合論の単射で、後半が同じ話を圏論で行います。集合論の単射に詳しければ3-4からでOKです。

3-1. 集合論的単射
まずは集合論の単射の話です。知ってる人は飛ばしてもOKです。
https://www.youtube.com/watch?v=EMuEXpE05Yk&list=PL3J_mLcl4YCc-CsND9NwaHpKu3Ir-hsni&index=6

3-2. 問: 集合論的単射の練習問題
集合論の単射を知らない人向けの練習問題です。
また、のちに同じ問題を圏論的に解くので、その為のヒントにもなります。

1. f, gが単射=>gとfの合成射も単射
2. gとfの合成射が単射=>fは単射
3. f: A->B, g: B->A, fとgの合成射が恒等射=>gが単射

https://www.youtube.com/watch?v=vJcLeIi4ib0&list=PL3J_mLcl4YCc-CsND9NwaHpKu3Ir-hsni&index=7

3-3. 答: 集合論的単射の練習問題
3-2の問題の答えです。線形代数の復習になりますが、忘れてる人はやってみて頂けたらと。
https://www.youtube.com/watch?v=jLsbjJ8D2BQ&list=PL3J_mLcl4YCc-CsND9NwaHpKu3Ir-hsni&index=8

3-4. 圏論における単射の定義
ようやく圏論の話です。圏論における恒等射と単射の定義です。
ここから圏論的な考えと集合論的考えの違いを説明していきます。
https://www.youtube.com/watch?v=WYE47QutViM&list=PL3J_mLcl4YCc-CsND9NwaHpKu3Ir-hsni&index=9

3-5. 問: 3-2と同じ問題を圏論で
3-2と全く同じ問題ですが、今度は圏論で解きましょう。
ついでにこのシリーズで何をやりたかったのかの説明と、ヒントも出してます。
でもヒント間違ってるのであんま信じないでください(^^;
https://www.youtube.com/watch?v=flI9wGyALNQ&list=PL3J_mLcl4YCc-CsND9NwaHpKu3Ir-hsni&index=10

3-6. こんな解き方はダメよ
ダメな解答例ですが、これを通してどういうのが圏論のフリして集合論になっちゃってる、という話をしています。
集合論がそもそも得意じゃ無い人は気にしなくて良いですし、見ても良く分からない、という人は気にせず次に行ってしまって良いです。
ただ、こんな風に解いてしまっている場合は、次の解答で射を中心に考える場合との違いを注意してみて下さい。
https://www.youtube.com/watch?v=Y-xu_62q_cI&list=PL3J_mLcl4YCc-CsND9NwaHpKu3Ir-hsni&index=11

3-7. 答: 一つ目の問題の解答
3-5の問題のうち一問目の解答、f, gが単射の時にgとfの合成射も単射になる、という問題の、圏論における解答です。
圏論で現実的な問題を解く、はじめての例となります。
https://www.youtube.com/watch?v=8EbRhtyILOQ&list=PL3J_mLcl4YCc-CsND9NwaHpKu3Ir-hsni&index=12

3-8. 集合論と圏論の解答を比較してみる
前回の動画で初めて圏論での証明を行ったので、3-3の解答と3-7の解答の比較を行ってみます。
3-10と合わせて、集合論と圏論の関係にもつながる話です。
https://www.youtube.com/watch?v=fIpYqtDhVQw&list=PL3J_mLcl4YCc-CsND9NwaHpKu3Ir-hsni&index=13

3-9. 答:残りの2つの問題の答え
3-5の問題のうち、残り二つの答えです。数式と図式で解くので、これで図式と数式の間をいったり来たりするのに慣れてもらえたらな、と。
https://www.youtube.com/watch?v=x8woSd1pXso&list=PL3J_mLcl4YCc-CsND9NwaHpKu3Ir-hsni&index=14

3-10. 集合論の単射と圏論の単射の関係
ここまで圏論の単射を集合論とは全く独立に定義して話を進めてきました。今回はその関係の説明です。
ちょっと難しい上に他の話とは関連が無いので、良く分からないならそういう物だと思って先に進んでもらってOKです。
今回のコースとは関係ありませんが、圏論の学習を進めていくとこういう手法は良く使うので、余裕があれば慣れておくと良いと思います。
厳密に証明したければ背理法です。
https://www.youtube.com/watch?v=Ka26l6a97EM&list=PL3J_mLcl4YCc-CsND9NwaHpKu3Ir-hsni&index=15

第四回: 全射
前回は単射だったので今回は全射です。
この練習問題を一通りやれば、だいたい圏論と集合論の違いはマスター出来ると思います。

4-1. 全射:集合論と圏論での定義
全射の定義です。今回は集合論と圏論を一度に説明してしまいます。
https://www.youtube.com/watch?v=GU0d3xZ55bQ&list=PL3J_mLcl4YCc-CsND9NwaHpKu3Ir-hsni&index=16

4-2. 全射: 練習問題
練習問題です。単射と意図的に似た問題となっているので、3-2と比較してもらうと面白いかもしれません。

1. f, gが全射=>gとfの合成射も全射
2. f: A->B, g: B->A, fとgの合成射が恒等射=>fが全射
3. 圏論の全射 => (Setの圏の上では)集合論の全射

三番目はちょっと難しいので、ヒントも出してありますが、3番目は解けなくても良いと思います。
https://www.youtube.com/watch?v=HH7T5pKMydM&list=PL3J_mLcl4YCc-CsND9NwaHpKu3Ir-hsni&index=17

4-3. 答:全射の練習問題の解答1
前のビデオ、4-2の、一問目の解答です。

1. f, gが全射=>gとfの合成射も全射

集合論と圏論の解答を最初から比較して進めています。
https://www.youtube.com/watch?v=UN8lNipOeFQ&list=PL3J_mLcl4YCc-CsND9NwaHpKu3Ir-hsni&index=18

圏論で考えよう4-3、訂正: 全射の解答の訂正
上のビデオで間違いがあったので、その訂正です。
該当箇所は直接動画を見てしまう人がいる事を考えて削除しましたが、可換図式の所です(この訂正に同じ説明を追加して何が間違いかの説明も足してあります)。

https://www.youtube.com/watch?v=T40730fFhls&list=PL3J_mLcl4YCc-CsND9NwaHpKu3Ir-hsni&index=19

4-4. 答:全射の練習問題の解答2
4-2の動画の2番目の問題の解答です。

2. f: A->B, g: B->A, fとgの合成射が恒等射=>fが全射

集合論と圏論で解答します。ちょっと音飛びが酷いです。
https://www.youtube.com/watch?v=3M4TqSraKqk&list=PL3J_mLcl4YCc-CsND9NwaHpKu3Ir-hsni&index=19

4-5. 答:全射の練習問題の解答3
4-2の動画の三番目の問題の解答です。

3. 圏論の全射 => (Setの圏の上では)集合論の全射

動画3-10の全射バージョンです。圏論と集合論の関係の話です。ちょっと難しいので分からなかったら先に進んで下さい。
https://www.youtube.com/watch?v=teTQnU9ZN9A&list=PL3J_mLcl4YCc-CsND9NwaHpKu3Ir-hsni&index=20

4-6. 終わりに
全体のまとめです。
第一回で言ったような事は実現出来ていますかね?
これも音飛び酷いですね。
https://www.youtube.com/watch?v=-jf7FVxpYpg&list=PL3J_mLcl4YCc-CsND9NwaHpKu3Ir-hsni&index=21